Grecs de Black-Scholes : delta et gamma expliqués

Delta et gamma sont les deux Grecs les plus suivis dans le trading d'options. Le delta mesure de combien le prix d'une option change quand le sous-jacent bouge ; le gamma mesure à quelle vitesse le delta lui-même change. Ensemble, ils capturent la sensibilité directionnelle des positions d'options et le rythme auquel cette sensibilité évolue. Pour les traders qui gèrent activement des positions d'options, qu'il s'agisse de paris directionnels spéculatifs, de structures couvertes ou de stratégies de revenu, comprendre intuitivement delta et gamma est essentiel. Ce guide décompose les deux Grecs avec des applications pratiques.

Delta : la sensibilité au prix

Le delta est défini comme la variation du prix de l'option par variation de 1 $ du sous-jacent :

Delta = ∂C/∂S

Où C est le prix de l'option et S le prix spot.

Valeurs de delta pour les options vanille

Calls longs

• Delta de call long : 0 à +1.
• Profondément dans la monnaie (ITM) : delta s'approche de +1.
• À la monnaie (ATM) : delta d'environ +0,50.
• Profondément hors de la monnaie (OTM) : delta s'approche de 0.

Puts longs

• Delta de put long : -1 à 0.
• Put profondément ITM : delta s'approche de -1.
• Put ATM : delta d'environ -0,50.
• Put profondément OTM : delta s'approche de 0.

Exemple travaillé

AAPL à 220 $. Call à la monnaie 30 jours (strike 220 $) :

• Prix du call : 7,00 $.
• Delta : +0,52.

Si AAPL passe à 221 $ :

• Variation théorique du prix du call : 0,52 $.
• Nouveau prix du call : ~7,52 $.

Si AAPL passe à 215 $ (baisse de 5 $) :

• Variation théorique du prix du call : -0,52 $ × 5 = -2,60 $.
• Nouveau prix du call : ~4,40 $ (approximatif ; le réel dépend des effets gamma).

L'approximation par le delta fonctionne bien pour les petits mouvements du sous-jacent. Pour les mouvements plus grands, le gamma compte substantiellement.

Le delta comme ratio de couverture

Le delta donne l'exposition équivalente en actions d'une position d'options :

• 1 call long avec delta +0,52 = environ 52 actions du sous-jacent long.
• 1 put long avec delta -0,40 = environ 40 actions du sous-jacent short.
• 1 call short avec delta -0,30 = environ 30 actions du sous-jacent short.
• 1 put short avec delta +0,25 = environ 25 actions du sous-jacent long.

Pour une couverture delta :

• Long 100 calls AAPL (delta 0,52 chacun) = 52 × 100 = 5 200 actions équivalent long.
• Pour couvrir : short 5 200 actions AAPL.

La position couverte a un delta net nul, le risque directionnel éliminé. Les changements de delta ultérieurs (effets gamma) nécessitent une recouverture.

Le delta comme probabilité approximative

Une heuristique courante : le delta est approximativement égal à la probabilité que l'option soit dans la monnaie à l'échéance.

• Call de delta 25 : ~25 % de probabilité d'être ITM à l'échéance.
• Call de delta 50 : ~50 % de probabilité.
• Call de delta 75 : ~75 % de probabilité.

Cette heuristique est une approximation, non exacte, mais utile pour une évaluation rapide du risque.

Gamma : la sensibilité du delta

Le gamma est le taux de variation du delta par variation de 1 $ du sous-jacent :

Gamma = ∂²C/∂S²

Ou de manière équivalente : gamma = ∂Delta/∂S.

Valeurs de gamma

• Les options longues ont un gamma positif.
• Les options short ont un gamma négatif.
• Le gamma est maximal à la monnaie pour les options à courte échéance.
• Le gamma diminue quand les options s'éloignent profondément ITM ou OTM.
• Le gamma diminue avec un temps à l'échéance plus long.

Intuition du gamma

Un gamma positif signifie que la position devient plus directionnelle quand le sous-jacent bouge favorablement :

• Call long avec delta +0,50 et gamma +0,025.
• AAPL monte de 1 $ : nouveau delta = +0,50 + 0,025 = +0,525.
• La position a désormais une exposition à la hausse légèrement plus importante.

Un gamma négatif signifie que la position devient moins favorablement directionnelle quand le sous-jacent bouge :

• Call short avec delta -0,50 et gamma -0,025.
• AAPL monte de 1 $ : nouveau delta = -0,50 - 0,025 = -0,525.
• La position a plus d'exposition short (plus de bêta de direction baissière) au moment même où le sous-jacent monte.

Exemple travaillé : effet gamma

AAPL à 220 $. Long 1 call au strike 220 $, delta +0,52, gamma +0,024.

AAPL passe à 230 $ (hausse de 10 $) :

• Gain initial basé sur le delta : 0,52 × 10 $ = 5,20 $.
• Effet gamma : gamma × mouvement spot²/2 = 0,024 × 100/2 = 1,20 $ de gain additionnel.
• Gain total approximatif : 5,20 $ + 1,20 $ = 6,40 $.

Prix réel du call avec AAPL à 230 $ : typiquement 14-16 $, selon le temps et l'IV, le gain réel est souvent un peu plus important que la simple approximation delta+gamma en raison des autres Grecs.

Pourquoi le gamma compte

1. Accélération directionnelle

Les positions à gamma long accélèrent les gains dans la direction favorable. Un call long avec un gamma élevé capture plus de hausse quand le sous-jacent monte.

2. Efficacité du stop-loss

Les positions à gamma négatif peuvent avoir des pertes surprenantes. Quand le sous-jacent bouge contre la position, le delta s'aggrave, amplifiant les pertes plus rapidement que linéairement.

3. Rééquilibrage de couverture

Les positions delta-couvertes ont besoin d'un rééquilibrage quand le gamma fait dériver le delta. La fréquence du rééquilibrage affecte le PnL réalisé.

4. Gamma scalping

Les positions à gamma long peuvent tirer profit de la volatilité réalisée via un rééquilibrage répété de la couverture delta. Chaque rééquilibrage récolte une partie de la volatilité réalisée.

5. Pics de gamma proches de l'échéance

Les options à courte échéance à la monnaie ont un gamma très élevé. Les positions proches de l'échéance peuvent osciller dramatiquement avec de petits mouvements du sous-jacent.

Évolution temporelle du delta et du gamma

À l'approche de l'échéance

Pour les options à la monnaie :

• Le delta reste autour de 0,50 (calls) ou -0,50 (puts).
• Le gamma augmente dramatiquement.

Pour les options ITM :

• Le delta s'approche de 1 (calls) ou -1 (puts).
• Le gamma diminue.

Pour les options OTM :

• Le delta s'approche de 0.
• Le gamma diminue.

Le « pic de gamma » près de l'échéance est l'une des caractéristiques définissant les options à courte échéance. Les positions laissées à expirer ATM peuvent produire un PnL surprenant via de petits mouvements du sous-jacent.

Quand la volatilité change

Volatilité implicite plus élevée :

• Le delta des options OTM se rapproche de 0,50 (moins binaire).
• Le gamma à un strike donné diminue (distribution de probabilité plus lisse).

Volatilité implicite plus basse :

• Le delta des options OTM se rapproche de 0 ou 1 (plus binaire).
• Le gamma à un strike donné augmente.

Ces effets se composent avec l'évolution temporelle. Les changements de régime de volatilité pendant la vie de l'option peuvent altérer substantiellement les profils de delta et gamma.

Applications pratiques

1. Dimensionnement de position

Le delta donne l'exposition équivalente en actions. Pour prendre une exposition « équivalente à 10 actions », dimensionner les options pour produire un delta = +/-10 (ou -/+10 pour les positions short).

2. Couverture de portefeuilles d'actions cash

Un portefeuille d'actions long-only peut être couvert via des puts. Ratio de couverture :

Nombre de puts × delta du put × 100 = -Exposition dollar du portefeuille / Prix de l'action

Pour une position longue AAPL de 100 000 $ à 220 $ (455 actions) :

• Équivalent actions à couvrir : 455 actions.
• Delta de put nécessaire : -0,50 (typique pour un put ATM).
• Nombre de puts : 455 / (0,50 × 100) = 9,1 puts ≈ 9 puts.

3. Suivi du risque

Les traders d'options actifs suivent le delta et le gamma au niveau du portefeuille :

• Delta agrégé : exposition directionnelle nette.
• Gamma agrégé : taux de variation du delta avec les mouvements du sous-jacent.

Pour un livre de stratégie de revenu (beaucoup de calls et puts short), le gamma agrégé est typiquement négatif. Les grands mouvements du sous-jacent produisent des pertes qui s'accélèrent.

4. Gamma scalping (avancé)

Les positions à gamma long peuvent être activement rééquilibrées pour récolter la volatilité réalisée. Acheter le sous-jacent quand le prix tombe, vendre quand il monte, capturant l'exposition gamma tout en gardant le delta proche de zéro.

La stratégie fonctionne quand la volatilité réalisée excède la volatilité implicite (de sorte que la branche options longues couvre son coût en thêta). Opérationnellement complexe ; principalement un jeu institutionnel.

Le même cadre s'applique en dehors des actions, les traders exécutant un straddle d'options BTC autour d'événements majeurs s'appuient sur une mécanique delta/gamma identique, juste avec un sous-jacent différent et un calendrier d'événements différent.

Erreurs courantes

1. Traiter le delta comme constant

Le delta change quand le sous-jacent bouge. Une position dimensionnée sur la base du delta initial aura une exposition différente quand le sous-jacent bouge.

2. Ignorer le gamma dans la couverture

Les positions delta-couvertes ont besoin d'une recouverture quand le gamma fait dériver le delta. Ne pas rééquilibrer laisse une exposition directionnelle résiduelle.

3. Sous-estimer le gamma près de l'échéance

Les options ATM à courte échéance ont un gamma extrême. Les positions gérées uniquement par delta peuvent produire un PnL inattendu.

4. Mal lire les Grecs des positions short

Pour les positions short, les conventions de signe s'inversent. Un call short a un delta négatif et un gamma négatif, l'opposé d'un call long.

5. Erreurs d'approximation pour les grands mouvements

L'approximation delta + gamma se rompt pour les grands mouvements du sous-jacent. Utiliser Black-Scholes complet (ou un pricer d'options) pour les calculs de prix réels lors d'événements majeurs.

Autres Grecs (brièvement)

Véga

Sensibilité à la volatilité implicite. Options longues véga positif ; short négatif. Le plus important pour les options ATM.

Thêta

Décote temporelle. Options longues thêta négatif ; short positif. Le plus important pour les options ATM à courte échéance près de l'échéance.

Rhô

Sensibilité aux taux d'intérêt. Moins matériel pour les options actions à courte échéance.

Pour une couverture complète des Grecs, voir pricing des options actions.

Outils et plateformes

La plupart des plateformes de trading d'options affichent les Grecs pour toute position d'option :

• Interactive Brokers, Saxo Bank, IG, DEGIRO affichent tous le delta et le gamma pour les positions individuelles et le portefeuille agrégé.
• Les analytics d'options spécialisés (OptionVue, Optionistics, autres) fournissent une analyse plus approfondie.
• Les moteurs de pricing commerciaux (Bloomberg OVDV, Reuters) pour les utilisateurs institutionnels.

Les traders retail actifs peuvent approximer les Grecs à des fins éducatives en utilisant de simples calculateurs Black-Scholes (nombreux gratuits en ligne).

Lectures associées

• Pricing des options actions, vue d'ensemble parente.
• Skew de volatilité implicite actions, mécanique de l'IV.
• Pilier dérivés actions, le paysage complet.